Multiplicação de números inteiros negativos: Um modelo matemático através da produção de brinquedos de miriti.

Bruno Amaral – UEPA – brunoamrl@hotmail.com

Graduando em licenciatura em matemática pela universidade do Estado do Pará

Carlos Henrique Luz – UEPA – ultraxerox@hotmail.com

Graduando em licenciatura em matemática pela universidade do Estado do Pará

Sheila Cristina Nascimento Brasil – UEPA – sheylacrys@yahoo.com.br

Graduanda em licenciatura em matemática pela universidade do Estado do Pará

Resumo: O presente artigo refere-se à uma proposta para o ensino de multiplicação de números negativos utilizando a modelagem matemática como metodologia de ensino. Para isso fez-se necessário, primeiramente, realizar um breve comentário acerca da Educação, destacando os problemas que os alunos possuem com este tópico no estudo da matemática e sobre o uso da modelagem no ensino. A proposta divide-se em duas etapas- apresentar aos alunos de ensino fundamental como é realizada a produção de brinquedos de miriti no estado do Pará, destacando sua importância cultural e econômica- e a partir daí criar um modelo matemático. Nesta perspectiva, buscamos contribui à aprendizagem do conteúdo em questão, dando significado ao resultado positivo obtido após a multiplicação de dois números negativos.

Palavras Chaves: Multiplicação, Números inteiros negativos, Modelagem matemática, Brinquedos de miriti.

Educação Matemática e o Estudo da multiplicação de Números Inteiros Negativos

O primeiro contato com a multiplicação envolvendo números negativos é, segundo Rama (2005), um momento matemático delicado na aprendizagem do aluno, já que é apresentado a este uma regra de sinais sem uma argumentação antecipada, de modo que não é tarefa fácil atribuir significado a expressões matemática do tipo (-2) x (-5) = + 10. Nesse sentido é necessário considerar o aluno como um indivíduo procurando realizar suas aspirações e inquietudes, de modo a considerar tais aspirações no processo ensino aprendizagem, como bem destaca D’Ambrosio (1996) a educação é resultado de variáveis de direções amplas, dentre elas a sociedade e as expectativas da sociedade em relação ao aluno, de modo que podemos inferir que para D’Ambrosio (1996), o processo educativo ultrapassa meros conhecimentos prontos, pois ele é uma estratégia de estimulo ao desenvolvimento intelectual do aluno.

Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN’s – de 1998, o aluno deve “saber utilizar as diferentes fontes de informações e recursos tecnológicos para adquirir e construir conhecimentos.” (p. 10). Neste contexto o professor apresenta um papel muito importante já que é ele que deve orientar o aluno dentro de um aprendizado significativo, disponibilizando maneiras e ferramentas para que cada um dentro de suas limitações utilize seus conhecimentos intuitivos e os amadureça matematicamente construindo assim uma visão crítica e investigativa da sociedade. Nesse sentido, destacaremos a modelagem matemática como uma estratégia pedagógica no ensino de multiplicação de números inteiros negativos.

O uso da Modelagem no ensino da Matemática

A modelagem Matemática é um procedimento que possibilita a criatividade do aluno e sua interação com os conceitos matemáticos mediante situações da realidade (SILVA, 2009, p. 44). Dessa forma, o aluno participa de modo ativo da aprendizagem, observando uma situação real e a parti dela, investigando, indagando e explorando o conhecimento matemático que pode resultar de tal situação.

Segundo SILVA (2009), através da modelagem matemática obtemos condições para confrontar uma situação real e um problema, de modo a transformar esse problema em um problema matemático e assim criar um modelo matemático. De acordo com Kfouri(2008)”... a proposta é a melhoria da qualidade do ensino da matemática usando a estratégia da modelagem, justamente por acreditar na potencialidade pedagógica da aplicação da modelagem no ensino da matemática”(p.61) assim, acreditamos que esta estratégia matemática contribuirá significativamente no ensino do conteúdo em questão já que retirará a abstração presente na regra de sinais proposta neste estudo, além de levar os alunos a explorar e compreender o papel sócio-cultural da matemática.

A proposta de ensino

A modelagem matemática proposta é retirada da produção de brinquedos de miriti por artesões paraenses, já o método normalmente proposto nas escolas é aquele baseado na utilização da regra de sinais, sem atribuir significados a tais regras.

A proposta é dividida em duas etapas. A primeira etapa consiste em apresentar a situação aos alunos de modo que eles reconheçam o que pode ser retirado do que está sendo apresentado, a produção de brinquedos de miriti no estado do Pará - e a partir daí cria um modelo matemático.

A segunda etapa consiste em manipular matematicamente o modelo encontrado e logo em seguida formalizar a regra de multiplicação de dois números inteiros negativos.

A produção de brinquedos de Miriti no Estado do Pará

Inicialmente é proposta a identificação da situação-problema, para que haja a familiarização com o assunto a ser modelado:

“A confecção dos brinquedos começa com a coleta dos talos (braços) da palmeira no meio do mato, em locais onde só se chega de barco. Geralmente, o Miriti escolhido é jovem e da planta se colhe apenas os braços onde estão as folhagens. Com isto, a confecção dos brinquedos não é uma atividade predatória, uma vez que a árvore é mantida viva e crescendo normalmente. A consciência de que preservar é preciso é transmitida entre as gerações: dos pais para os filhos, dos filhos para os netos, com o artesão retirando da natureza somente o que precisa” (Alencar e Lopes,2004, p.3)

“Em Abaetetuba, Pará, o miriti é especialmente relevante na confecção de brinquedos que, tradicionalmente preenchem e colorem as ruas de Belém na época do Círio de Nazaré, a maior festa religiosa do território nacional". (CARVALHO, 2002. pg. 13)

O brinquedo de Miriti e o Modelo Matemático

Após a apresentação da situação deve-se fazer a matematização com a formulação do problema:

Considerando que para a confecção de um brinquedo de miriti, de Medidas: 4 x 31 x 8 cm, o artesão possui um custo de 4 reais. Se este artesão produz 1 brinquedo ele gastou 4 reais, se produziu 2 gastou 8 reais, se produziu 3 gastou 12 reais, se não produziu nenhum não gastou nada (vamos desprezar aqui o lucro, e considerar para efeito de cálculo o preço de custo de cada brinquedo), de modo que se ele vendeu 1 ele terá menos 1 do que produziu, ganhando os 4 reais que gastou. Assim temos:

(-4) x 3=-12→ gastou 4 reais (-4) e produziu 3 brinquedos(+3), logo gastou 12 reais(-12)

(-4) x 2 = -8

(-4) x 1 = -4

(-4) x 0 = 0

(-4) x (-1) = 4 → gastou 4 reais (-4) e vendeu 1 brinquedo (-1), logo ganhou  4 reais (+4)

(-4) x (-2) = 8

(-4) x (-3) = 12

Sabemos que nas representações feitas acima os elementos que são identificados não se encontram em um mesmo conjunto, pois representam elementos distintos, gastar/ganhar e vender/produzir, no entanto acreditamos que essa situação permite ao aluno um significado para a multiplicação de números negativos e que mesmo não sendo formalmente válida a operação descrita possibilita ao aluno perceber em um fato real que na multiplicação de dois números negativos é gerado um número positivo.

Analisando os resultados encontrados percebemos que um artesão que gastou 4 reais, ao vender um brinquedo de miriti ele ganha 4 reais, da mesma forma quando vende 2 , ganha 8 e assim sucessivamente, de modo que podemos deixar que o aluno conclua que na multiplicação de dois valores negativos encontramos um valor positivo.

Pressuposto

Desse modo a atividade proposta pode ser utilizada como forma de facilitar o processo de ensino-aprendizagem do assunto abordado, já que possibilita a visualização de uma regra matemática, além de destacar aspectos típicos de uma região. Pois, ultrapassa a abstração do conteúdo proposto dando significado ao resultado positivo obtido após a multiplicação de dois números negativos, além de proporcionar ao aluno um papel investigativo que pode ser muito explorado pelo professor através de tal atividade.

Referências

ALENCAR, José Ricardo da Silva; LOPES, Jose Luiz Magalhães. Elementos físicos e culturais do brinquedo e do miriti. Artigo apresentado no IX encontro nacional de pesquisa em ensino de física, 2004.

BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais. Matemática - Ensino fundamental. Brasília:1998, p.23.

CARVALHO, Luciana Gonçalves de, e LIMA, Ricardo Gomes. O Brinquedo que vem do Norte. Rio de Janeiro: FUNARTE/CNFCP, 2002

D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Educação Matemática da Teoria à Prática. Campinas: Papirus, 1996.

RAMA, José Aguinaldo. Números Inteiros nos Ensinos Fundamental e Médio. Tese de mestrado. PUC, São Paulo. 2005.

SILVA, Marcelo Navarro da. Modelagem Matemática na formação continuada: Análise das Concepções de professores em um curso de especialização. Tese de Mestrado. PUC, São Paulo. 2009

http://www.acasa.org.br/arquivo_objeto.php?reg_mv=OB-00404 . Acessado. 1 de dezembro de 2009.

http://www.projetobira.com/brinquedos-de-miriti/ Acessado. 5 de dezembro de 2009

http://www.flickr.com/photos/brenopeck/51216162/ Acessado. 5 de dezembro de 2009

KFOURI, William. Explorar e Investigar para aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática. Tese de Mestrado. PUC, São Paulo. 2008

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Aplicação de Aritmética

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http://www.youtube.com/watch?v=pZhrti_m0OA

Os três dois

Qual é o maior número de três algarismos que podemos escrever usando apenas o algarismo 2? será a potência (2²)²?
Podemos combinar os três 2 de quatro modos diferentes:

222

22² = 22 . 22 = 484

2²² = 4 194 304

(2²)² = 2² . ² = 16

Em matemática, precisamos sempre tomar cuidado para não tirar conclusões precipitadas.
O maior número não é a potência (2²)²  e sim 2²².

Inimigos e Amigos?

Muito usada no processo de tentar mostrar aos alunos como é que funciona o jogo de sinais no ensino da multiplicação e divisão dos numero inteiros, foi criado como um jogo de palavras que representam números negativos e positivos, normalmente o numero um que mais tarde pode ser substituído por qualquer outro numero: Na sala de Aula o professor chega e pergunta pra turma:

- Crianças, o Amigo do meu Amigo é o que pra mim?

- Seu Amigo, professor!

- Então o Inimigo do meu Amigo é o que pra mim?

- Seu Inimigo!

- Então o Amigo do meu Inimigo é?

- Seu Inimigo!

- E, o Inimigo do meu Inimigo?

- (...)

O silencio imperou, alguns olharam meio estranho para ele mais não sabiam o que responder. Amigo ou Inimigo?

Até que um aluno fala:

- Já que ele é Inimigo de quem o senhor não gosta então ele é seu Amigo professor.

- Muito bem, então ele é meu Amigo! – ele continua – Isso gente é que acontece no jogo de sinais da multiplicação se trocar a palavra “Amigo” pelo numero +1 e “Inimigo” pelo -1, por exemplo, e multiplicar a relação que fizemos temos: o Amigo do meu Amigo é meu Amigo

+1 vezes +1 = +1

o Inimigo do meu Amigo é meu Inimigo

-1 vezes +1 = -1

o Amigo do meu Inimigo é meu Inimigo

+1 vezes -1 = -1

o Inimigo do meu Inimigo é meu Amigo

-1 vezes -1 = +1

O Caso do Zero

O professor chega à sala de aula e pergunta:

- Se 2² é quatro e 2¹ é dois. Quanto é 20?

Então deu para perceber que a sala entrou em colapso, alguns alunos diziam dois outros diziam zero, mas não entrevasse em um consenso e formou-se então dois partidos - o do zero e o do dois. Para acabar com a discussão, o professor deu a sentença:

- É UM. Dois elevado a zero é um.

No inicio os alunos nem ouviram direito a explicação: que coisa mais sem sentido, que loucura era essa?

Ao poucos foram se acalmando, e o professor pôde justificar o resultado. Na verdade, é bem simples.

Quando escrevemos, por exemplo, 2³, o expoente indica que devemos multiplicar o numero 2 três vezes. A potencia 20, no entanto, nos coloca numa seria dificuldade. Não podemos Multiplicar o fator 2 zero vezes.

Durante muito tempo os matemáticos afirmaram que a potencia 20 não existia. Mas uma propriedade da potencia mostrou que havia uma possibilidade de interpretar o zero:

Para dividir duas potencias que têm a mesma base, mantemos a base e subtraímos os expoentes.

2³/ 2³ = 2 ³-³ = 2º
Mas:
2³/ 2³ = 8/8 = 1

Logo:

2º = 1.

Multiplicação por 9

Responda rápido: quanto é 4 vezes 9? A foto ao lado ilustra a maneira de achar imediatamente a resposta para esta multiplicação e – o que é mais impressionanate – todos os outros números de 1 a 10 multiplicados por nove.

Como todas as grandes sacadas da história do conhecimento humano, essa é muito simples. Com seus 10 dedos esticados diante de si, basta dobrar o dedo que corresponde ao número que você quer multiplicar por 9. O resultado aparece como mágica diante dos seus olhos. Os números à esquerda do dedo dobrado são a dezena, os da direita correspondem à unidade! No nosso exemplo, dobramos o terceiro dedo, e observamos que restam dois dedos abertos à esquerda, e 6 à direita. Do que depreendemos quase imediatamente que 4 vezes 9 é 36! Faça o teste você mesmo com qualquer número de 1 a 10 e comprove!

Aqui, 9 x 8 Contando os dedos da esquerda para a direita, o oitavo dedo será o dedo médio da mão direita.

O resultado será 72 (7 dedos do lado esquerdo, 2 do lado direito).

Matemática Humana

Somar é a primeira operação matemática que se aprende, a que temos mais facilidade e que gostamos mais.


Primeiro agente gosta de somar várias vezes palitos e giz, depois brinquedos e roupas da moda, depois somar dinheiro, depois somar carros e casas, e sempre somar alegria e felicidade.

Isto já é multiplicação, que também é fácil de aprender, é só somar várias vezes a mesma coisa.

A Segunda operação que aprendemos é a subtração.

Aí começa a ficar estranho.

Principalmente quando tem que pedir emprestado na casa do vizinho, digo, casa decimal ao lado. Ninguém gosta mais de diminuir do que somar.

Quando chega na divisão é quase um desespero, ainda mais quando sobra um resto.

É que ninguém entende aonde ou pra quem vai ficar o resto.

Até no cotidiano ninguém gosta de dividir nada.

A dificuldade no aprendizado não parece à toa, o homem rejeita essa prática.

Quando o homem aprender a dividir corretamente e saber onde deve ficar o resto, entenderá que é o mesmo que somar para alguns, mantendo a quantidade de outros, sem necessariamente subtrair de alguém, ou seja, é o mesmo que somar igual para todos; entenderá também que somando os restos teremos mais um inteiro divisível, fazendo outros felizes.

O resultado final também é uma soma, a soma da felicidade geral.

Poderíamos até chamar esta operação de soma distribuída.

Com esta visão, com certeza a matemática daria mais resultados, talvez fosse dispensável aprender contas de dividir e os homens continuariam felizes a somar palitos, brinquedos, dinheiros, carros, casas e felicidade, porém não somente para si.

Quem sabe?

A Tabuada de Pitágoras

No meu tempo, quando estava a aprender multiplicação, era adotado como material didático a velha tabuada composta de pelo menos nove páginas. Uma para a tabuada do 1, outra para a do 2, e assim em diante. Cada página com 10 linhas, onde cada linha tinha a indicação do produto e seu resultado (2 x 1 = 2, …, 2 x 10 = 20). Se o seu objetivo é obter a tabuada de multiplicação de um número clique aqui.

Pitágoras, filósofo e matemático grego, século VI antes de Cristo (veja há quanto tempo!), inventou a tabela abaixo, na qual é possível efetuar todas as o

perações de multiplicação existentes na velha tabuada. E tudo em um único lugar.

Para se calcular, por meio desta tabela, o produto de dois números, 5 x 9 por exemplo, basta localizar o multiplicando (5) na primeira linha e o multiplicador (9) na primeira coluna. O resultado do produto está no encontro da linha com a coluna.


Observe que alguns conceitos adicionais podem ser explorados a partir daqui:


•O de uma composição tabular (matriz) – não estou dizendo que uma criança vá entendê-lo em toda a sua plenitude;

•Mostrar que em uma multiplicação a ordem dos fatores não altera o resultado, fazendo a operação 9 x 5 diretamente na tabela;

•Obter resultados de divisões exatas, claro dentro deste universo. Por exemplo: 36:9.


A tabuada de Pitágoras, é óbvio, deve ser utilizada dentro dos mesmos princípios didáticos e curriculares da tabuada tradicional, ou seja, após as devidas explicações do que seja uma multiplicação e uma divisão. No entanto, acredito que o uso da tabuada de Pitagóras tornaria, pelo menos, o aprendizado mais divertido.

A composição da tabela é bem simples: na coluna um encontram-se “os resultados da tabuada do 1″, na dois “os resultados da tabuada do 2″, e assim por diante

!!! Truques simples de Aritmética !!!

A matemática pode ser aterrorizante para muitas pessoas. Esta listagem que pesquisamos irá melhorar o seu conhecimento em "truques" matemáticos e a velocidade para que possa praticar a matemática com a mente.

Não se deixe assustar pelas equações, elas são bem mais simples do que parecem.

 10. Multiplicar por 11

Todos sabem que quando queremos multiplicar qualquer número pode 10 apenas devemos colocar um zero ao final. Você sabia que há um truque igualmente fácil para multiplicar por 11?

Pegue qualquer número de dois dígitos e imagine um espaço em branco entre eles. Neste exemplo iremos usar 72:
7_2
Agora coloque o resultado da soma dos mesmos dois números no espaço em branco:
7_(7+2)_2
Simples assim, você chega à sua resposta: 792
Caso a soma central gere um número com dois dígitos você terá que pegar o primeiro dígito desta soma e somar com o primeiro dígito do número original. Vamos utilizar o número 93:
9_3
9_(9+3)_3
9_(12)_3
(9+1)_2_3
1023 – Nunca falha!

9.Elevar rapidamente ao quadrado

Se você precisa do quadrado de qualquer número com dois dígitos que termine em 5 você pode utilizar esse truque simples. Multiplique o primeiro dígito por si mesmo +1 e coloque 25 no final. Só isso.
352 = (3x(3+1) & 25
1225

  8. Multiplicando por 5

 Memorizar a tabuada do 5 é muito simples, mas quando precisamos operar dígitos maiores isso fica bem mais complexo, ou não? Esse truque é muito simples.

Pegue qualquer número e divida por 2 (em outras palavras, a metade) Se o resultado for um inteiro coloque 0 ao final. Do contrário simplesmente apague a vírgula (colocando o 5 ao final). Também nunca falha. Vamos começar com 3.024:
3024 x 5 = (3024/2) & 0 ou 5
3024/2 = 1512 & 0
15120
Vamos tentar mais um (55):
63 x 5 = (63/2) & 0 ou 5
31,5 (ignore a vírgula deixando apenas o 5 que já está ao final)
315

   7. Multiplicar por 9 

Este é extremamente simples. Para multiplicar qualquer número entre 1 e 9 por 9 você deve estender as duas mãos na sua frente. Então abaixe um dedo apenas, exatamente o dedo correspondente ao número que você quer multiplicar.
Por exemplo, se você quer multiplicar 9 por 4, abaixe o 4º dedo. Conte os dedos antes do dedo abaixado (neste caso 3) depois conte os que estão após do dedo abaixado (neste caso 6).
Resposta = 36
  6. Calcular 15% 
Se você precisa calcular 15% de qualquer número é simples. Apenas divida o número por 10 e então some mais a metade deste resultado. A equação é bem mais complicada que o truque em si. Vamos exemplificar com o número 300:
15% de 300 = (10% de 300) + ((10% de 300)/2)
30 + 15 = 45
   5. Multiplicar por 4 
Este é tão simples que parece óbvio. Mas para muitos não é. Ele consiste em multiplicar por 2 e multiplicar por 2 novamente.
66 x 4 = (66 x 2) x 2
132 x 2 = 264
  4. Multiplicação difícil 

Se você tem números grandes para multiplicar e um dels é par, simplesmente divida por 2 o lado par e multiplique por 2 o lado ímpar (ou o lado maior).

64 x 125, é o mesmo que:
32 x 250, que é o mesmo que:
16 x 500, que é o mesmo que:
8 x 1000 = 8000
   3. dividindo por 5 
Dividir um número grande por 5 é, em realidade, muito simples. Tudo que você deve fazer é multiplicar por 2 e então mover a casa decimal. Vamos exemplificar com o número 3250.
3250 / 5 = 3250 x 2 & mover a casa decimal um dígito para a esquerda
6500 = 650,0
650
Ou então:
41 / 5 = 41 x 2 & mover a casa decimal um dígito para a esquerda
82 = 8,2
2.Subtrair qualquer número de 1000 
Para subtratir qualquer número de 1000 use essa regra básica. Subtraia individualmente cada dígito de 9, com exceção do último que você subtrairá de 10.
1000 – 723
Passo 1: Subtrara 7 de 9 = 2
Passo 2: Subtraia 2 de 9 = 7
Passo 3: Subtraia 3 de 10 = 7
Resposta: 277, infalível.

1.Diversas regras de multiplicação 

1.Multiplicar por 5: Multiplicar por 10 e dividir por 2.

2.Multiplicar por 6: Algumas vezes multiplicar por 3 e então 2 é fácil.

3.Multiplicar por 9: Multiplicar por 10 e subtrair o número original.

4.Multiplicar por 12: Multiplicar por 10 e somar o dobro do número original.

5.Multiplicar por 13: Multiplicar por 3 e somar 10 vezes o número original.

6.Multiplicar por 14: Multiplicar por 7 e então multiplicar por 2

7.Multiplicar por 15: Multiplicar por 10 e somar 5 vezes o número original.

8.Multiplicar por 16: Pode-se multiplicar quatro vezes por 2. Ou multiplicar por 8 e depois por 2.

9.Multiplicar por 17: Multiplicar por 7 e somar 10 vezes número original.

10.Multiplicar por 18: Multiplicar por 20 e subtrair o dobro do número original.

11.Multiplicar por 19: Multiplicar por 20 e subtrair o número original.

12.Multiplicar por 24: Multiplicar por 8 e então multiplicar por 3.

13.Multiplicar por 27: Multiplicar por 30 e subtrair 3 vezes o número original.

14.Multiplicar por 45: Multiplicar por 50 e subtrair 5 vezes o número original.

15.Multiplicar por 90: Multiplicar por 9 e colocar zero à direita.

16.Multiplicar por 98: Multiplicar por 100 e subtrair duas vezes o número original.

17.Multiplicar por 99: Multiplicar por 100 e subtrair o número original.

Método de Pitágoras para Calcular a Potência de Grau 2 de um Número

A potenciação nos fornece um meio simples, prático e rápido para calcularmos a potência de grau 2 de um número inteiro, comumente conhecida como o quadrado desse número.



Como todos sabem, o meio em questão, corresponde ao produto (multiplicação) do número por ele mesmo, ou seja:



52 = 5 x 5 = 25

Mas, Pitágoras, filósofo e matemático grego, século VI antes de Cristo, inventou uma regra diferente (e um pouco mais complicada, convenhamos) para obter o resultado da potência de grau 2 de um número, que consiste em:



O quadrado de um número inteiro n é igual a soma dos n primeiros números inteiros ímpares.



Para números pequenos vemos, facilmente, que a afirmação é verdadeira, através do uso direto do enunciado. Vejam:



•12 = 1 (n = 1)

•22 = 1 + 3 = 2 x 2 = 4 (n = 2)

•52 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5 x 5 = 25 (n = 5)

•72 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 7 x 7 = 49 (n = 7)

E como saber que a afirmação é válida para o número 5.227, por exemplo? No “braço” é extremamente trabalhoso comprovar, pois teríamos que somar os primeiros 5.227 números inteiros ímpares e, após, verificar que o resultado é igual ao quadrado de 5.227.



No entanto, se observarmos com um pouquinho mais de atenção veremos que a sequência formada pelos primeiros n números ímpares:



(1, 3, 5, 7, …., an)



é uma Progressão Aritmética (PA) de razão r = 2, onde an representa o enésimo termo ou o enésimo número ímpar.



Desse fato é suficiente, agora, utilizarmos das propriedades de uma PA. Mais especificamente das fórmulas do termo geral e da soma dos termos de uma PA finita, para demonstrarmos que Pitágoras esta com toda a razão (não a da PA).



Primeiro vamos determinar o valor de an em função de n:



an = a1 + (n – 1)r = 1 + (n – 1)2 = 2n – 1



Para concluirmos, mostrando que a soma Sn é igual a n2:



Sn = [(a1 + an)n]/2 = [(1 + 2n - 1)]n/2 = 2n2/2 = n2



Pronto! não é que o homem tinha razão?