Os três dois

Qual é o maior número de três algarismos que podemos escrever usando apenas o algarismo 2? será a potência (2²)²?
Podemos combinar os três 2 de quatro modos diferentes:

222

22² = 22 . 22 = 484

2²² = 4 194 304

(2²)² = 2² . ² = 16

Em matemática, precisamos sempre tomar cuidado para não tirar conclusões precipitadas.
O maior número não é a potência (2²)²  e sim 2²².

O irracional Pi

3,14159265358979323846.

Este é apenas o início de um número muito especial com uma infinidade de casas decimais: o número pi - a razão entre o perímetro de um círculo e o seu diâmetro.

No dia 14 de Março (data que nos EUA se escreve 3/14), celebra-se em todo o mundo o Dia do p (3,14.). Esta celebração tem como objectivo promover junto do público em geral o gosto pela matemática, aproveitando o interesse que o p tem suscitado ao longo dos tempos em todas as culturas.

O ano de 2006 é muito especial, porque marca o 300º aniversário da aplicação da letra grega p para designar este número, utilizada pela primeira vez em 1706 na publicação “Synopsis Palmariorium Mathesios” de William Jones.

Inimigos e Amigos?

Muito usada no processo de tentar mostrar aos alunos como é que funciona o jogo de sinais no ensino da multiplicação e divisão dos numero inteiros, foi criado como um jogo de palavras que representam números negativos e positivos, normalmente o numero um que mais tarde pode ser substituído por qualquer outro numero: Na sala de Aula o professor chega e pergunta pra turma:

- Crianças, o Amigo do meu Amigo é o que pra mim?

- Seu Amigo, professor!

- Então o Inimigo do meu Amigo é o que pra mim?

- Seu Inimigo!

- Então o Amigo do meu Inimigo é?

- Seu Inimigo!

- E, o Inimigo do meu Inimigo?

- (...)

O silencio imperou, alguns olharam meio estranho para ele mais não sabiam o que responder. Amigo ou Inimigo?

Até que um aluno fala:

- Já que ele é Inimigo de quem o senhor não gosta então ele é seu Amigo professor.

- Muito bem, então ele é meu Amigo! – ele continua – Isso gente é que acontece no jogo de sinais da multiplicação se trocar a palavra “Amigo” pelo numero +1 e “Inimigo” pelo -1, por exemplo, e multiplicar a relação que fizemos temos: o Amigo do meu Amigo é meu Amigo

+1 vezes +1 = +1

o Inimigo do meu Amigo é meu Inimigo

-1 vezes +1 = -1

o Amigo do meu Inimigo é meu Inimigo

+1 vezes -1 = -1

o Inimigo do meu Inimigo é meu Amigo

-1 vezes -1 = +1

Multiplicação por 9

Responda rápido: quanto é 4 vezes 9? A foto ao lado ilustra a maneira de achar imediatamente a resposta para esta multiplicação e – o que é mais impressionanate – todos os outros números de 1 a 10 multiplicados por nove.

Como todas as grandes sacadas da história do conhecimento humano, essa é muito simples. Com seus 10 dedos esticados diante de si, basta dobrar o dedo que corresponde ao número que você quer multiplicar por 9. O resultado aparece como mágica diante dos seus olhos. Os números à esquerda do dedo dobrado são a dezena, os da direita correspondem à unidade! No nosso exemplo, dobramos o terceiro dedo, e observamos que restam dois dedos abertos à esquerda, e 6 à direita. Do que depreendemos quase imediatamente que 4 vezes 9 é 36! Faça o teste você mesmo com qualquer número de 1 a 10 e comprove!

Aqui, 9 x 8 Contando os dedos da esquerda para a direita, o oitavo dedo será o dedo médio da mão direita.

O resultado será 72 (7 dedos do lado esquerdo, 2 do lado direito).

!!! Truques simples de Aritmética !!!

A matemática pode ser aterrorizante para muitas pessoas. Esta listagem que pesquisamos irá melhorar o seu conhecimento em "truques" matemáticos e a velocidade para que possa praticar a matemática com a mente.

Não se deixe assustar pelas equações, elas são bem mais simples do que parecem.

 10. Multiplicar por 11

Todos sabem que quando queremos multiplicar qualquer número pode 10 apenas devemos colocar um zero ao final. Você sabia que há um truque igualmente fácil para multiplicar por 11?

Pegue qualquer número de dois dígitos e imagine um espaço em branco entre eles. Neste exemplo iremos usar 72:
7_2
Agora coloque o resultado da soma dos mesmos dois números no espaço em branco:
7_(7+2)_2
Simples assim, você chega à sua resposta: 792
Caso a soma central gere um número com dois dígitos você terá que pegar o primeiro dígito desta soma e somar com o primeiro dígito do número original. Vamos utilizar o número 93:
9_3
9_(9+3)_3
9_(12)_3
(9+1)_2_3
1023 – Nunca falha!

9.Elevar rapidamente ao quadrado

Se você precisa do quadrado de qualquer número com dois dígitos que termine em 5 você pode utilizar esse truque simples. Multiplique o primeiro dígito por si mesmo +1 e coloque 25 no final. Só isso.
352 = (3x(3+1) & 25
1225

  8. Multiplicando por 5

 Memorizar a tabuada do 5 é muito simples, mas quando precisamos operar dígitos maiores isso fica bem mais complexo, ou não? Esse truque é muito simples.

Pegue qualquer número e divida por 2 (em outras palavras, a metade) Se o resultado for um inteiro coloque 0 ao final. Do contrário simplesmente apague a vírgula (colocando o 5 ao final). Também nunca falha. Vamos começar com 3.024:
3024 x 5 = (3024/2) & 0 ou 5
3024/2 = 1512 & 0
15120
Vamos tentar mais um (55):
63 x 5 = (63/2) & 0 ou 5
31,5 (ignore a vírgula deixando apenas o 5 que já está ao final)
315

   7. Multiplicar por 9 

Este é extremamente simples. Para multiplicar qualquer número entre 1 e 9 por 9 você deve estender as duas mãos na sua frente. Então abaixe um dedo apenas, exatamente o dedo correspondente ao número que você quer multiplicar.
Por exemplo, se você quer multiplicar 9 por 4, abaixe o 4º dedo. Conte os dedos antes do dedo abaixado (neste caso 3) depois conte os que estão após do dedo abaixado (neste caso 6).
Resposta = 36
  6. Calcular 15% 
Se você precisa calcular 15% de qualquer número é simples. Apenas divida o número por 10 e então some mais a metade deste resultado. A equação é bem mais complicada que o truque em si. Vamos exemplificar com o número 300:
15% de 300 = (10% de 300) + ((10% de 300)/2)
30 + 15 = 45
   5. Multiplicar por 4 
Este é tão simples que parece óbvio. Mas para muitos não é. Ele consiste em multiplicar por 2 e multiplicar por 2 novamente.
66 x 4 = (66 x 2) x 2
132 x 2 = 264
  4. Multiplicação difícil 

Se você tem números grandes para multiplicar e um dels é par, simplesmente divida por 2 o lado par e multiplique por 2 o lado ímpar (ou o lado maior).

64 x 125, é o mesmo que:
32 x 250, que é o mesmo que:
16 x 500, que é o mesmo que:
8 x 1000 = 8000
   3. dividindo por 5 
Dividir um número grande por 5 é, em realidade, muito simples. Tudo que você deve fazer é multiplicar por 2 e então mover a casa decimal. Vamos exemplificar com o número 3250.
3250 / 5 = 3250 x 2 & mover a casa decimal um dígito para a esquerda
6500 = 650,0
650
Ou então:
41 / 5 = 41 x 2 & mover a casa decimal um dígito para a esquerda
82 = 8,2
2.Subtrair qualquer número de 1000 
Para subtratir qualquer número de 1000 use essa regra básica. Subtraia individualmente cada dígito de 9, com exceção do último que você subtrairá de 10.
1000 – 723
Passo 1: Subtrara 7 de 9 = 2
Passo 2: Subtraia 2 de 9 = 7
Passo 3: Subtraia 3 de 10 = 7
Resposta: 277, infalível.

1.Diversas regras de multiplicação 

1.Multiplicar por 5: Multiplicar por 10 e dividir por 2.

2.Multiplicar por 6: Algumas vezes multiplicar por 3 e então 2 é fácil.

3.Multiplicar por 9: Multiplicar por 10 e subtrair o número original.

4.Multiplicar por 12: Multiplicar por 10 e somar o dobro do número original.

5.Multiplicar por 13: Multiplicar por 3 e somar 10 vezes o número original.

6.Multiplicar por 14: Multiplicar por 7 e então multiplicar por 2

7.Multiplicar por 15: Multiplicar por 10 e somar 5 vezes o número original.

8.Multiplicar por 16: Pode-se multiplicar quatro vezes por 2. Ou multiplicar por 8 e depois por 2.

9.Multiplicar por 17: Multiplicar por 7 e somar 10 vezes número original.

10.Multiplicar por 18: Multiplicar por 20 e subtrair o dobro do número original.

11.Multiplicar por 19: Multiplicar por 20 e subtrair o número original.

12.Multiplicar por 24: Multiplicar por 8 e então multiplicar por 3.

13.Multiplicar por 27: Multiplicar por 30 e subtrair 3 vezes o número original.

14.Multiplicar por 45: Multiplicar por 50 e subtrair 5 vezes o número original.

15.Multiplicar por 90: Multiplicar por 9 e colocar zero à direita.

16.Multiplicar por 98: Multiplicar por 100 e subtrair duas vezes o número original.

17.Multiplicar por 99: Multiplicar por 100 e subtrair o número original.

Revelando a mágica do número "1089"

A razão para que o número 1089 seja considerado “mágico” decorre do fato de ser obtido da seguinte forma:

Dado um número qualquer composto de três algarismos diferentes – abc -, inverta esse número, no sentido de trás para frente – cba – e subtraia o menor do maior. Ao resultado dessa subtração – representada por xyz -, onde se deve considerar sempre um número de três algarismos, mesmo quando a diferença na casa das centenas é zero, some o seu inverso – zyx – e eis que surge “fagueiro” o número 1089.

O objetivo deste post é demonstrar porque isso sempre ocorre. Mas, antes alguns exemplos para que não restem eventuais dúvidas quanto ao enunciado.

Exemplo 1: Seja 367 um número escolhido, que escrito de trás para frente é 763. Subtraindo o menor do maior obtemos:

763 – 367 = 396

E somando o resultado obtido ao seu inverso de trás para frente:

396 + 693 = 1089

Exemplo 2: Agora tome o número 675. Utilizando-se dos mesmos procedimentos vem:

675 – 576 = 099 => 099 + 990 = 1089

Observe que no exemplo acima o zero a esquerda – em 099 – deve ser considerado para que o resultado seja o número “mágico” 1089.
Isto posto, vamos lá.

Seja e com a composição abc o número escolhido. Como a representa a centena, b a dezena e c a unidade, então e pode ser escrito como:

e = 100a + 10b + c.

Pelo enunciado, o “inverso” de e tem a composição “cba” e por analogia:

d = 100c + 10b + a.

Portanto, supondo que e > d, temos a > c (representam as centenas de e e d respectivamente) e que a subtração é dada por:

e – d = 100a + 10b + c – (100c + 10b + a)

Eliminando os parenteses e efetuando a multiplicação por -1, a famosa troca de sinal:

e – d = 100a + 10b + c – 100c – 10b – a

Efetuando as operações com os termos comuns, ou seja, 100a – a = 99a, 100c – c = 99c e 10b – 10b = 0:

e – d = 99a – 99c

Colocando 99 em evidência – termo comum às duas parcelas:

e – d = 99(a – c)

Até aqui fica demonstrado que o resultado da diferença entre e e d – que será representada pela composição xyz – é sempre um múltiplo de 99 e portanto, necessariamente, um múltiplo de 9.Como nas duas parcelas e e d, b não muda de posição, permanecendo na casa das dezenas e a > c, então o “y” da composição do resultado (”xyz”) será sempre igual a 9 (lembra do tira 1 dos tempos da aritmética!).

E como em todo número divisível por 9 a soma de seus algarimos é também um número divisível por 9, concluímos que x + z = 9.

Logo, podemos escrever o resultado R da soma da diferença pelo seu “inverso” como:

R = 100x + 10y + z + 100z + 10y + x

que pode ser reescrito como:

R = 100(x + z) + 20y + (x + z) = 100(9) + 20(9) + 9 = 900 + 180 + 9 = 1089

como queríamos demonstrar

Observações:

• 
  
  Na expressão 99(a – c), obtida na demonstração como resultado da subtração inicial, teremos sempre o valor 099 quando a diferença entre o algarismo da centena e da unidade do número escolhido for igual a 1, caso do exemplo 2 acima;
  
  
  
• 
  
  Que os resultados possíveis para a subtração inicial são 099, 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792 e 891;
  
  
  
• 
  
  Que, com exceção do 099, todos os inversos utilizados na soma – segundo passo para obter o 1089 – estão, também, entre os números acima;
  
  
  
• 
  
  E, finalmente, que o resultado de toda a brincadeira, para qualquer que seja o número escolhido, é sempre igual a 11 x 99 = 1089. Veja que se a – c = 2, por exemplo, temos como resultado da subtração 198 = 2 x 99 cujo inverso é 891 = 9 x 99, o que conduz a 1089 = (2×99) + (9×99) = 11 x 99.