Multiplicação de números inteiros negativos: Um modelo matemático através da produção de brinquedos de miriti.

Bruno Amaral – UEPA – brunoamrl@hotmail.com

Graduando em licenciatura em matemática pela universidade do Estado do Pará

Carlos Henrique Luz – UEPA – ultraxerox@hotmail.com

Graduando em licenciatura em matemática pela universidade do Estado do Pará

Sheila Cristina Nascimento Brasil – UEPA – sheylacrys@yahoo.com.br

Graduanda em licenciatura em matemática pela universidade do Estado do Pará

Resumo: O presente artigo refere-se à uma proposta para o ensino de multiplicação de números negativos utilizando a modelagem matemática como metodologia de ensino. Para isso fez-se necessário, primeiramente, realizar um breve comentário acerca da Educação, destacando os problemas que os alunos possuem com este tópico no estudo da matemática e sobre o uso da modelagem no ensino. A proposta divide-se em duas etapas- apresentar aos alunos de ensino fundamental como é realizada a produção de brinquedos de miriti no estado do Pará, destacando sua importância cultural e econômica- e a partir daí criar um modelo matemático. Nesta perspectiva, buscamos contribui à aprendizagem do conteúdo em questão, dando significado ao resultado positivo obtido após a multiplicação de dois números negativos.

Palavras Chaves: Multiplicação, Números inteiros negativos, Modelagem matemática, Brinquedos de miriti.

Educação Matemática e o Estudo da multiplicação de Números Inteiros Negativos

O primeiro contato com a multiplicação envolvendo números negativos é, segundo Rama (2005), um momento matemático delicado na aprendizagem do aluno, já que é apresentado a este uma regra de sinais sem uma argumentação antecipada, de modo que não é tarefa fácil atribuir significado a expressões matemática do tipo (-2) x (-5) = + 10. Nesse sentido é necessário considerar o aluno como um indivíduo procurando realizar suas aspirações e inquietudes, de modo a considerar tais aspirações no processo ensino aprendizagem, como bem destaca D’Ambrosio (1996) a educação é resultado de variáveis de direções amplas, dentre elas a sociedade e as expectativas da sociedade em relação ao aluno, de modo que podemos inferir que para D’Ambrosio (1996), o processo educativo ultrapassa meros conhecimentos prontos, pois ele é uma estratégia de estimulo ao desenvolvimento intelectual do aluno.

Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN’s – de 1998, o aluno deve “saber utilizar as diferentes fontes de informações e recursos tecnológicos para adquirir e construir conhecimentos.” (p. 10). Neste contexto o professor apresenta um papel muito importante já que é ele que deve orientar o aluno dentro de um aprendizado significativo, disponibilizando maneiras e ferramentas para que cada um dentro de suas limitações utilize seus conhecimentos intuitivos e os amadureça matematicamente construindo assim uma visão crítica e investigativa da sociedade. Nesse sentido, destacaremos a modelagem matemática como uma estratégia pedagógica no ensino de multiplicação de números inteiros negativos.

O uso da Modelagem no ensino da Matemática

A modelagem Matemática é um procedimento que possibilita a criatividade do aluno e sua interação com os conceitos matemáticos mediante situações da realidade (SILVA, 2009, p. 44). Dessa forma, o aluno participa de modo ativo da aprendizagem, observando uma situação real e a parti dela, investigando, indagando e explorando o conhecimento matemático que pode resultar de tal situação.

Segundo SILVA (2009), através da modelagem matemática obtemos condições para confrontar uma situação real e um problema, de modo a transformar esse problema em um problema matemático e assim criar um modelo matemático. De acordo com Kfouri(2008)”... a proposta é a melhoria da qualidade do ensino da matemática usando a estratégia da modelagem, justamente por acreditar na potencialidade pedagógica da aplicação da modelagem no ensino da matemática”(p.61) assim, acreditamos que esta estratégia matemática contribuirá significativamente no ensino do conteúdo em questão já que retirará a abstração presente na regra de sinais proposta neste estudo, além de levar os alunos a explorar e compreender o papel sócio-cultural da matemática.

A proposta de ensino

A modelagem matemática proposta é retirada da produção de brinquedos de miriti por artesões paraenses, já o método normalmente proposto nas escolas é aquele baseado na utilização da regra de sinais, sem atribuir significados a tais regras.

A proposta é dividida em duas etapas. A primeira etapa consiste em apresentar a situação aos alunos de modo que eles reconheçam o que pode ser retirado do que está sendo apresentado, a produção de brinquedos de miriti no estado do Pará - e a partir daí cria um modelo matemático.

A segunda etapa consiste em manipular matematicamente o modelo encontrado e logo em seguida formalizar a regra de multiplicação de dois números inteiros negativos.

A produção de brinquedos de Miriti no Estado do Pará

Inicialmente é proposta a identificação da situação-problema, para que haja a familiarização com o assunto a ser modelado:

“A confecção dos brinquedos começa com a coleta dos talos (braços) da palmeira no meio do mato, em locais onde só se chega de barco. Geralmente, o Miriti escolhido é jovem e da planta se colhe apenas os braços onde estão as folhagens. Com isto, a confecção dos brinquedos não é uma atividade predatória, uma vez que a árvore é mantida viva e crescendo normalmente. A consciência de que preservar é preciso é transmitida entre as gerações: dos pais para os filhos, dos filhos para os netos, com o artesão retirando da natureza somente o que precisa” (Alencar e Lopes,2004, p.3)

“Em Abaetetuba, Pará, o miriti é especialmente relevante na confecção de brinquedos que, tradicionalmente preenchem e colorem as ruas de Belém na época do Círio de Nazaré, a maior festa religiosa do território nacional". (CARVALHO, 2002. pg. 13)

O brinquedo de Miriti e o Modelo Matemático

Após a apresentação da situação deve-se fazer a matematização com a formulação do problema:

Considerando que para a confecção de um brinquedo de miriti, de Medidas: 4 x 31 x 8 cm, o artesão possui um custo de 4 reais. Se este artesão produz 1 brinquedo ele gastou 4 reais, se produziu 2 gastou 8 reais, se produziu 3 gastou 12 reais, se não produziu nenhum não gastou nada (vamos desprezar aqui o lucro, e considerar para efeito de cálculo o preço de custo de cada brinquedo), de modo que se ele vendeu 1 ele terá menos 1 do que produziu, ganhando os 4 reais que gastou. Assim temos:

(-4) x 3=-12→ gastou 4 reais (-4) e produziu 3 brinquedos(+3), logo gastou 12 reais(-12)

(-4) x 2 = -8

(-4) x 1 = -4

(-4) x 0 = 0

(-4) x (-1) = 4 → gastou 4 reais (-4) e vendeu 1 brinquedo (-1), logo ganhou  4 reais (+4)

(-4) x (-2) = 8

(-4) x (-3) = 12

Sabemos que nas representações feitas acima os elementos que são identificados não se encontram em um mesmo conjunto, pois representam elementos distintos, gastar/ganhar e vender/produzir, no entanto acreditamos que essa situação permite ao aluno um significado para a multiplicação de números negativos e que mesmo não sendo formalmente válida a operação descrita possibilita ao aluno perceber em um fato real que na multiplicação de dois números negativos é gerado um número positivo.

Analisando os resultados encontrados percebemos que um artesão que gastou 4 reais, ao vender um brinquedo de miriti ele ganha 4 reais, da mesma forma quando vende 2 , ganha 8 e assim sucessivamente, de modo que podemos deixar que o aluno conclua que na multiplicação de dois valores negativos encontramos um valor positivo.

Pressuposto

Desse modo a atividade proposta pode ser utilizada como forma de facilitar o processo de ensino-aprendizagem do assunto abordado, já que possibilita a visualização de uma regra matemática, além de destacar aspectos típicos de uma região. Pois, ultrapassa a abstração do conteúdo proposto dando significado ao resultado positivo obtido após a multiplicação de dois números negativos, além de proporcionar ao aluno um papel investigativo que pode ser muito explorado pelo professor através de tal atividade.

Referências

ALENCAR, José Ricardo da Silva; LOPES, Jose Luiz Magalhães. Elementos físicos e culturais do brinquedo e do miriti. Artigo apresentado no IX encontro nacional de pesquisa em ensino de física, 2004.

BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais. Matemática - Ensino fundamental. Brasília:1998, p.23.

CARVALHO, Luciana Gonçalves de, e LIMA, Ricardo Gomes. O Brinquedo que vem do Norte. Rio de Janeiro: FUNARTE/CNFCP, 2002

D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Educação Matemática da Teoria à Prática. Campinas: Papirus, 1996.

RAMA, José Aguinaldo. Números Inteiros nos Ensinos Fundamental e Médio. Tese de mestrado. PUC, São Paulo. 2005.

SILVA, Marcelo Navarro da. Modelagem Matemática na formação continuada: Análise das Concepções de professores em um curso de especialização. Tese de Mestrado. PUC, São Paulo. 2009

http://www.acasa.org.br/arquivo_objeto.php?reg_mv=OB-00404 . Acessado. 1 de dezembro de 2009.

http://www.projetobira.com/brinquedos-de-miriti/ Acessado. 5 de dezembro de 2009

http://www.flickr.com/photos/brenopeck/51216162/ Acessado. 5 de dezembro de 2009

KFOURI, William. Explorar e Investigar para aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática. Tese de Mestrado. PUC, São Paulo. 2008

 Slides Relacionados

Aplicação de Aritmética

View more presentations from Uepa.

http://www.youtube.com/watch?v=pZhrti_m0OA

Os três dois

Qual é o maior número de três algarismos que podemos escrever usando apenas o algarismo 2? será a potência (2²)²?
Podemos combinar os três 2 de quatro modos diferentes:

222

22² = 22 . 22 = 484

2²² = 4 194 304

(2²)² = 2² . ² = 16

Em matemática, precisamos sempre tomar cuidado para não tirar conclusões precipitadas.
O maior número não é a potência (2²)²  e sim 2²².

Irmandade Pitagórica

Pitágoras nasceu cerca de 570 anos antes de Cristo, em Samos, uma ilha do mar Egeu. Viajou por vários países, acumulando grande quantidade de conhecimento até voltar para sua terra onde pretendia fundar uma escola filosófica. No entanto, problemas com o tirano local fez com fugisse para a cidade graga de Crotona, no sul da Itália, onde finalmente fundou uma sociedade que ficou conhecida como a "irmandade Pitagórica". Os pitagóricos eram fascinados pelas propriedades dos números inteiros e descobriram inúmeras dessas propriedades.

O maior feito da escola de Pitágoras foi a descoberta do famoso "teorema de Pitágoras", que todo estudante de segundo grau conhece bem e que diz que o quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo é a soma dos quadrados dos catetos.

Segundo Cajori (2007) a escola de Pitágoras era mais que academia de estudo era uma irmandade onde seus membros eram proibidos de divulgar suas descobertas, nesse sentido Cajori (2007) aponta a morte no mar de um dos pitagóricos que revelou a teoria dos irracionais.

Devemos imaginar que os pitagóricos viram nos irracionais um profundo mistério, símbolo pelo qual não existem palavras? (...) A descoberta dos irracionais é tida como de Pitágoras, mas devemos lembrar que todas as descobertas importante dos pitagóricos eram, de acordo com o costume da irmandade, atribuídas a ele.(CAJORI, 2007, p.94)

 

Essa descoberta causou profundo desconforto na irmandade pois mostrou que existem números que não podem ser medidos por valores inteiros ou suas frações. São os números irracionais. Essa constatação abalou a crença dos pitagóricos de que toda medida poderia ser relacionada por inteiros mas resultou, nas mãos de outros matemáticos como Arquimedes, por exemplo, em enorme avanço na aritmética e na geometria.

Diz a lenda, provavelmente exagerada, que os pitagóricos ficaram tão perturbados com os números irracionais que decidiram sacrificar o membro da irmandade que descobriu a existência desses números.

O irracional Pi

3,14159265358979323846.

Este é apenas o início de um número muito especial com uma infinidade de casas decimais: o número pi - a razão entre o perímetro de um círculo e o seu diâmetro.

No dia 14 de Março (data que nos EUA se escreve 3/14), celebra-se em todo o mundo o Dia do p (3,14.). Esta celebração tem como objectivo promover junto do público em geral o gosto pela matemática, aproveitando o interesse que o p tem suscitado ao longo dos tempos em todas as culturas.

O ano de 2006 é muito especial, porque marca o 300º aniversário da aplicação da letra grega p para designar este número, utilizada pela primeira vez em 1706 na publicação “Synopsis Palmariorium Mathesios” de William Jones.

Ábaco Chines

O ábaco chinês é composto por três ripas de madeira dispostas em paralelo, unidas por cilindros de metal ou madeira, espaçados e paralelos, por onde deslizam esferas, chamadas de contas.

Ábaco, na verdade, é qualquer instrumento de manipulação que ajude a fazer cálculos (cartazes de pregas, contador, cartaz de valor-lugar, soroban, etc.).

Se nos remetermos à pré-história, no período neolítico, quando o homem passou pelo processo de sedentarização, surgiu a idéia de criar animais para o consumo. Uma das primeiras dificuldades foi saber quantos animais uma família ou aldeia possuía.

A solução era relacionar de forma biunívoca animais e pedrinhas, isto é, para duas cabras, colecionavam-se duas pedrinhas.
Com um tempo, o homem começou a contar outros objetos, cujas quantidades tornavam-se inviáveis de representar biunivocamente com pedrinhas. Assim, agrupar quantidades iguais e representá-las com outros objetos foi a saída.

Por exemplo, os egípcios costumavam formar grupos de cinco pedrinhas e substituir estas cinco por um graveto. Dessa forma, 2 gravetos e 3 pedrinhas correspondiam ao 13.

Povos diferentes, formavam esses grupos de maneiras diferentes – o que chamamos na matemática de bases numéricas.

Na idade antiga, a escrita facilitou muito o processo de representação de quantidades. O ser humano pela primeira vez utilizou símbolos gráficos para representar números.

Porém, antes de chegarmos nesse grau de evolução (da escrita), vamos estudar sobre um instrumento desenvolvido na China antiga – o ábaco.

O ábaco chinês é composto por três ripas de madeira dispostas em paralelo, unidas por cilindros de metal ou madeira, espaçados e paralelos, por onde deslizam esferas, chamadas de contas.

Digamos que, no ábaco ocidental queiramos fazer 10 + 12. Inicialmente colocamos dez unidades na coluna das unidades. Mas, lembrando nossos antepassados, é mais inteligente utilizar a posição das dezenas, já que 10 = 1 x 10, isto é, uma dezena.

Agora, vamos colocar 12 unidades na coluna das unidades.

passou pelo processo de sedentarização, surgiu a idéia de criar animais para o consumo. Uma das primeiras dificuldades foi saber quantos animais uma família ou aldeia possuía.

A solução era relacionar de forma biunívoca animais e pedrinhas, isto é, para duas cabras, colecionavam-se duas pedrinhas.

Com um tempo, o homem começou a contar outros objetos, cujas quantidades tornavam-se inviáveis de representar biunivocamente com pedrinhas. Assim, agrupar quantidades iguais e representá-las com outros objetos foi a saída.

Por exemplo, os egípcios costumavam formar grupos de cinco pedrinhas e substituir estas cinco por um graveto. Dessa forma, 2 gravetos e 3 pedrinhas correspondiam ao 13.

Povos diferentes, formavam esses grupos de maneiras diferentes – o que chamamos na matemática de bases numéricas.

Na idade antiga, a escrita facilitou muito o processo de representação de quantidades. O ser humano pela primeira vez utilizou símbolos gráficos para representar números.

Porém, antes de chegarmos nesse grau de evolução (da escrita), vamos estudar sobre um instrumento desenvolvido na China antiga – o ábaco.

O ábaco chinês é composto por três ripas de madeira dispostas em paralelo, unidas por cilindros de metal ou madeira, espaçados e paralelos, por onde deslizam esferas, chamadas de contas.

Cada conta corresponde a uma unidade na coluna inferior direita; cinco unidades na coluna superior direita; uma dezena na segunda coluna inferior; cinco dezenas na segunda coluna superior e assim sucessivamente.

Em uma versão simplificada – a que usamos no ocidente, o ábaco é composto por uma base de madeira, colunas (cilindros) de metal ou madeira perpendiculares à base e esferas ou roscas para as contas.

O valor posicional, assim como no ábaco chinês, é dado da direita para esquerda. Se utilizarmos a base decimal, a primeira coluna é a das unidades; a segunda, das dezenas; a terceira, das centenas e assim sucessivamente.

Digamos que, no ábaco ocidental queiramos fazer 10 + 12. Inicialmente colocamos dez unidades na coluna das unidades. Mas, lembrando nossos antepassados, é mais inteligente utilizar a posição das dezenas, já que 10 = 1 x 10, isto é, uma dezena.

Agora, vamos colocar 12 unidades na coluna das unidades.

Essas 12 unidades podem ser escritas e representadas como 1 x 10 + 2, isto é, uma dezena mais duas unidades. Assim, retiramos dez unidades, que “passam” para a coluna das dezenas como uma dezena. Esse é o famoso “vai um” do algoritmo da adição. Na realidade não “vai um”, o que vai é uma dezena a ser somada às dezenas.

Dessa forma ficamos com a disposição final:

Que corresponde a expressão numérica 2 x 10 + 2 que é igual a 22. Veja 22 que são duas dezenas mais duas unidades (20 + 2 = 22). Tal raciocínio é a base para o algoritmo da operação da soma com números naturais na base decimal.

É bom lembrarmos que 10 unidades são 1 dezena:

Que 10 dezenas são 1 centena:

Que 10 centenas são 1 milhar:

assim por diante.

Uma vez compreendida essa ação de substituir, na base decimal, dez vezes a unidade anterior em uma unidade posterior (exemplo 10 centenas em 1 milhar), e assimilado esse conceito, estaremos aptos a afirmar que sabemos somar números naturais na base dez.

Algo que pode facilitar a leitura do número expresso no ábaco (se estivermos trabalhando com base decimal) é termos estampados, na base, os nomes das posições (unidades, dezenas, centenas, etc).

Lenda do Jogo de Xadrez

O semblante do rei da índia mostrava espanto e admiração com os olhos fixos no tabuleiro, ele procurava compreender os movimentos das peças: reis rainhas, bispos cavalos, torres, peões. Que engenhosa invenção!

Ficou ainda mais satisfeito quando lhe contaram que o criador do jogo era um súdito de seu reino: Sessa, professor de Matemática e Ciência. Que o trouxessem imediatamente a sua presença!

Sessa era um verdadeiro sábio, calmo e digno, que enfrentara o soberano com os olhos fracos e ar sereno.

Com nenhum de seus súditos o rei havia sido tão benevolente. Fez perguntas sobre o jogo, falou do apreço que tinha pela ciência, do respeito que dedicava aos que cultivavam o saber. No final da conversa, fez o generoso oferecimento:

_ Sessa, quero recompensá-lo por sua invenção. Peça o que desejar, nada lhe será negado.

O soberano admirava as pessoas prudentes e agradou-lhe ver que sessa não queria desperdiçar a grande oportunidade de sua vida.

No dia seguinte, o sábio dirigiu-se ao rei e solenemente fez seu pedido:

_ Quero um grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro, dois pela segunda, quatro pela terceira, oito pela quarta e assim sucessivamente, até a última casa do tabuleiro.

O rei permaneceu calado algum tempo.Que decepção! Oferecera tanto e obtivera como resposta um pedido tão pequeno. Como podia aquele súdito ser assim mesquinho, desdenhar de tal forma sua generosidade?

Com um simples gesto de Mao despediu-se de Sessa, dizendo-lhe que os matemáticos do reino calculariam o total de grãos e ele receberia imediatamente a recompensa.

Um rápido brilho passou pelos olhos de Sessa, mas o rei não soube interpretá-lo.

Algumas horas depois, perguntou a seu ministro se o trigo havia sido entregue a Sessa. Um pouco constrangido, o funcionário respondeu que não, que os matemáticos ainda estavam fazendo as contas.

O rei franziu a testa com desagrado. Não admitia que suas ordens demorassem tanto a serem cumpridas. Que os cálculos fossem acelerados!

Na manha seguinte, os matemáticos foram falar com o rei, logo percebeu que havia alguma coisa errada. Mas nunca poderia adivinhar o que lhe disse o mais brilhante matemático do reino:

_ Majestade, Sessa nunca poderá receber sua recompensa! A quantidade de grão é tão grande que nem em todo o os celeiros do mundo existe tanto trigo. Seria necessário secar os rios, lagos, mares e oceanos, fundir gelo e a neve do norte, cobrir de cearas toda a superfície da terra e entregar-lhe cada grão colhido!

Nesse momento o rei lembrou-se da expressão que vira no rosto de Sessa. Que grande astucioso!Enganara a todos, fingindo-se modesto.

Não era possível atender ao pedido de Sessa como havia sido feito, mas era preciso premiar a notável inteligência de Sessa. Que ele recebesse uma quantia tão grande de moedas que pudesse ter uma vida tranqüila e continuasse ter uma vida tranqüila e continuasse a inventar jogos como aquele.
Oscar Guelli, Contando a Historia da Matematica- Historia de Potencia e Raizes, 2003

Inimigos e Amigos?

Muito usada no processo de tentar mostrar aos alunos como é que funciona o jogo de sinais no ensino da multiplicação e divisão dos numero inteiros, foi criado como um jogo de palavras que representam números negativos e positivos, normalmente o numero um que mais tarde pode ser substituído por qualquer outro numero: Na sala de Aula o professor chega e pergunta pra turma:

- Crianças, o Amigo do meu Amigo é o que pra mim?

- Seu Amigo, professor!

- Então o Inimigo do meu Amigo é o que pra mim?

- Seu Inimigo!

- Então o Amigo do meu Inimigo é?

- Seu Inimigo!

- E, o Inimigo do meu Inimigo?

- (...)

O silencio imperou, alguns olharam meio estranho para ele mais não sabiam o que responder. Amigo ou Inimigo?

Até que um aluno fala:

- Já que ele é Inimigo de quem o senhor não gosta então ele é seu Amigo professor.

- Muito bem, então ele é meu Amigo! – ele continua – Isso gente é que acontece no jogo de sinais da multiplicação se trocar a palavra “Amigo” pelo numero +1 e “Inimigo” pelo -1, por exemplo, e multiplicar a relação que fizemos temos: o Amigo do meu Amigo é meu Amigo

+1 vezes +1 = +1

o Inimigo do meu Amigo é meu Inimigo

-1 vezes +1 = -1

o Amigo do meu Inimigo é meu Inimigo

+1 vezes -1 = -1

o Inimigo do meu Inimigo é meu Amigo

-1 vezes -1 = +1

O Caso do Zero

O professor chega à sala de aula e pergunta:

- Se 2² é quatro e 2¹ é dois. Quanto é 20?

Então deu para perceber que a sala entrou em colapso, alguns alunos diziam dois outros diziam zero, mas não entrevasse em um consenso e formou-se então dois partidos - o do zero e o do dois. Para acabar com a discussão, o professor deu a sentença:

- É UM. Dois elevado a zero é um.

No inicio os alunos nem ouviram direito a explicação: que coisa mais sem sentido, que loucura era essa?

Ao poucos foram se acalmando, e o professor pôde justificar o resultado. Na verdade, é bem simples.

Quando escrevemos, por exemplo, 2³, o expoente indica que devemos multiplicar o numero 2 três vezes. A potencia 20, no entanto, nos coloca numa seria dificuldade. Não podemos Multiplicar o fator 2 zero vezes.

Durante muito tempo os matemáticos afirmaram que a potencia 20 não existia. Mas uma propriedade da potencia mostrou que havia uma possibilidade de interpretar o zero:

Para dividir duas potencias que têm a mesma base, mantemos a base e subtraímos os expoentes.

2³/ 2³ = 2 ³-³ = 2º
Mas:
2³/ 2³ = 8/8 = 1

Logo:

2º = 1.

Multiplicação por 9

Responda rápido: quanto é 4 vezes 9? A foto ao lado ilustra a maneira de achar imediatamente a resposta para esta multiplicação e – o que é mais impressionanate – todos os outros números de 1 a 10 multiplicados por nove.

Como todas as grandes sacadas da história do conhecimento humano, essa é muito simples. Com seus 10 dedos esticados diante de si, basta dobrar o dedo que corresponde ao número que você quer multiplicar por 9. O resultado aparece como mágica diante dos seus olhos. Os números à esquerda do dedo dobrado são a dezena, os da direita correspondem à unidade! No nosso exemplo, dobramos o terceiro dedo, e observamos que restam dois dedos abertos à esquerda, e 6 à direita. Do que depreendemos quase imediatamente que 4 vezes 9 é 36! Faça o teste você mesmo com qualquer número de 1 a 10 e comprove!

Aqui, 9 x 8 Contando os dedos da esquerda para a direita, o oitavo dedo será o dedo médio da mão direita.

O resultado será 72 (7 dedos do lado esquerdo, 2 do lado direito).

Você sabia que na China...

                                                      

Assim como praticavam os processos básicos de aritmética e estudavam quadrados, cubos e raízes, os chineses ficavam intrigados com as relações dos números em si. Nisso seguiam o padrão de muitas civilizações primitivas. Em um estágio muito antigo da história chinesa, os números ímpares eram julgados aziagos e os pares, afortunados. Estudaram-se padrões de pontos, como o foram na Grécia por Pitágoras e seus seguidores, para deduzir seqüências numéricas, e os chineses descobriram algumas relações desconhecidas dos gregos. Por exemplo, sabiam que a soma da seqüência de números ímpares é sempre um quadrado.

Os chineses também mostravam interesse pela "análise combinatória", o que revela sua curiosidade pelos "quadrados mágicos" - quadrados formados por compartimentos preenchidos com números cuja soma dá sempre o mesmo total, quer se tomem os números no sentido vertical, horizontal ou diagonal. O quadrado mágico poderia tornar-se elaborado - até se imaginaram quadrados tridimensionais - mas, em sua forma mais simples, parece ter origem pelo menos no ano 100 a.C., ou ainda mais cedo, embora esse assunto não se tenha desenvolvido senão 1 400 anos depois.

Os chineses sempre foram peritos em encontrar auxílios para o cálculo. Como outras civilizações primitivas, contavam nos dedos e empregavam a mais complicada técnica de destinar números para as juntas dos dedos, tanto quanto para os dedos propriamente ditos. Usavam também um barbante com nós, semelhante ao quipú peruano, embora esse método fosse empregado mais para registros do que realmente para executar cálculos. Mas seu mais eficiente artifício de cálculo primitivo era a vara de contar. Parece ter sido usada desde cedo e era ideal para o cálculo semimecânica; há muitas lendas acerca do uso desse instrumento, como a que envolve o astrônomo do século XI, Wei Po, que, dizem, movia as varas tão rapidamente que elas pareciam estar voando. Mas, depois do período Ming, pouco se ouviu a respeito das varetas, pois elas cederam lugar ao ábaco, um instrumento bem mais eficiente.

O ábaco chinês é chamado tanto de suan pan (placa de cálculo) como chu suan pan (placa de bola); prancheta retangular provida de bolas introduzidas em arames, o ábaco é provavelmente conhecido da maioria dos leitores. A primeira referência a esse instrumento não apareceu antes do ano 1593 d.C.; por isso algumas vezes se pensou que fosse desconhecido na China até o século XVI. Contudo, alguns textos tornam claro que a referência de 1593 é tardia: admite-se que não se trata realmente do ábaco, mas de uma "aritmética de bola", tipo de cálculo executado em madeira escavada, provida de arames e bolas. Essa descrição aparece num livro datado do século VI d.C, e sua fonte de informação remonta ao final do século II d.C. Uma vez que há outras referências a descrições semelhantes, parece que o ábaco já era conhecido no século VI e possivelmente no século II d.C. Em outras civilizações primitivas, o "mecanismo" é formada por pedras que se deslocam dentro de ranhuras. O método das pedras pode muito bem ser originário da Índia, no século III ou IV d.C., como um aperfeiçoamento das antigas bandejas de areia ou pó empregadas no Mediterrâneo para realizar cálculos. Estas foram bem conhecidas dos gregos, dos egípcios e até mesma dos babilônios.

Matemática Humana

Somar é a primeira operação matemática que se aprende, a que temos mais facilidade e que gostamos mais.


Primeiro agente gosta de somar várias vezes palitos e giz, depois brinquedos e roupas da moda, depois somar dinheiro, depois somar carros e casas, e sempre somar alegria e felicidade.

Isto já é multiplicação, que também é fácil de aprender, é só somar várias vezes a mesma coisa.

A Segunda operação que aprendemos é a subtração.

Aí começa a ficar estranho.

Principalmente quando tem que pedir emprestado na casa do vizinho, digo, casa decimal ao lado. Ninguém gosta mais de diminuir do que somar.

Quando chega na divisão é quase um desespero, ainda mais quando sobra um resto.

É que ninguém entende aonde ou pra quem vai ficar o resto.

Até no cotidiano ninguém gosta de dividir nada.

A dificuldade no aprendizado não parece à toa, o homem rejeita essa prática.

Quando o homem aprender a dividir corretamente e saber onde deve ficar o resto, entenderá que é o mesmo que somar para alguns, mantendo a quantidade de outros, sem necessariamente subtrair de alguém, ou seja, é o mesmo que somar igual para todos; entenderá também que somando os restos teremos mais um inteiro divisível, fazendo outros felizes.

O resultado final também é uma soma, a soma da felicidade geral.

Poderíamos até chamar esta operação de soma distribuída.

Com esta visão, com certeza a matemática daria mais resultados, talvez fosse dispensável aprender contas de dividir e os homens continuariam felizes a somar palitos, brinquedos, dinheiros, carros, casas e felicidade, porém não somente para si.

Quem sabe?

A Tabuada de Pitágoras

No meu tempo, quando estava a aprender multiplicação, era adotado como material didático a velha tabuada composta de pelo menos nove páginas. Uma para a tabuada do 1, outra para a do 2, e assim em diante. Cada página com 10 linhas, onde cada linha tinha a indicação do produto e seu resultado (2 x 1 = 2, …, 2 x 10 = 20). Se o seu objetivo é obter a tabuada de multiplicação de um número clique aqui.

Pitágoras, filósofo e matemático grego, século VI antes de Cristo (veja há quanto tempo!), inventou a tabela abaixo, na qual é possível efetuar todas as o

perações de multiplicação existentes na velha tabuada. E tudo em um único lugar.

Para se calcular, por meio desta tabela, o produto de dois números, 5 x 9 por exemplo, basta localizar o multiplicando (5) na primeira linha e o multiplicador (9) na primeira coluna. O resultado do produto está no encontro da linha com a coluna.


Observe que alguns conceitos adicionais podem ser explorados a partir daqui:


•O de uma composição tabular (matriz) – não estou dizendo que uma criança vá entendê-lo em toda a sua plenitude;

•Mostrar que em uma multiplicação a ordem dos fatores não altera o resultado, fazendo a operação 9 x 5 diretamente na tabela;

•Obter resultados de divisões exatas, claro dentro deste universo. Por exemplo: 36:9.


A tabuada de Pitágoras, é óbvio, deve ser utilizada dentro dos mesmos princípios didáticos e curriculares da tabuada tradicional, ou seja, após as devidas explicações do que seja uma multiplicação e uma divisão. No entanto, acredito que o uso da tabuada de Pitagóras tornaria, pelo menos, o aprendizado mais divertido.

A composição da tabela é bem simples: na coluna um encontram-se “os resultados da tabuada do 1″, na dois “os resultados da tabuada do 2″, e assim por diante

!!! Truques simples de Aritmética !!!

A matemática pode ser aterrorizante para muitas pessoas. Esta listagem que pesquisamos irá melhorar o seu conhecimento em "truques" matemáticos e a velocidade para que possa praticar a matemática com a mente.

Não se deixe assustar pelas equações, elas são bem mais simples do que parecem.

 10. Multiplicar por 11

Todos sabem que quando queremos multiplicar qualquer número pode 10 apenas devemos colocar um zero ao final. Você sabia que há um truque igualmente fácil para multiplicar por 11?

Pegue qualquer número de dois dígitos e imagine um espaço em branco entre eles. Neste exemplo iremos usar 72:
7_2
Agora coloque o resultado da soma dos mesmos dois números no espaço em branco:
7_(7+2)_2
Simples assim, você chega à sua resposta: 792
Caso a soma central gere um número com dois dígitos você terá que pegar o primeiro dígito desta soma e somar com o primeiro dígito do número original. Vamos utilizar o número 93:
9_3
9_(9+3)_3
9_(12)_3
(9+1)_2_3
1023 – Nunca falha!

9.Elevar rapidamente ao quadrado

Se você precisa do quadrado de qualquer número com dois dígitos que termine em 5 você pode utilizar esse truque simples. Multiplique o primeiro dígito por si mesmo +1 e coloque 25 no final. Só isso.
352 = (3x(3+1) & 25
1225

  8. Multiplicando por 5

 Memorizar a tabuada do 5 é muito simples, mas quando precisamos operar dígitos maiores isso fica bem mais complexo, ou não? Esse truque é muito simples.

Pegue qualquer número e divida por 2 (em outras palavras, a metade) Se o resultado for um inteiro coloque 0 ao final. Do contrário simplesmente apague a vírgula (colocando o 5 ao final). Também nunca falha. Vamos começar com 3.024:
3024 x 5 = (3024/2) & 0 ou 5
3024/2 = 1512 & 0
15120
Vamos tentar mais um (55):
63 x 5 = (63/2) & 0 ou 5
31,5 (ignore a vírgula deixando apenas o 5 que já está ao final)
315

   7. Multiplicar por 9 

Este é extremamente simples. Para multiplicar qualquer número entre 1 e 9 por 9 você deve estender as duas mãos na sua frente. Então abaixe um dedo apenas, exatamente o dedo correspondente ao número que você quer multiplicar.
Por exemplo, se você quer multiplicar 9 por 4, abaixe o 4º dedo. Conte os dedos antes do dedo abaixado (neste caso 3) depois conte os que estão após do dedo abaixado (neste caso 6).
Resposta = 36
  6. Calcular 15% 
Se você precisa calcular 15% de qualquer número é simples. Apenas divida o número por 10 e então some mais a metade deste resultado. A equação é bem mais complicada que o truque em si. Vamos exemplificar com o número 300:
15% de 300 = (10% de 300) + ((10% de 300)/2)
30 + 15 = 45
   5. Multiplicar por 4 
Este é tão simples que parece óbvio. Mas para muitos não é. Ele consiste em multiplicar por 2 e multiplicar por 2 novamente.
66 x 4 = (66 x 2) x 2
132 x 2 = 264
  4. Multiplicação difícil 

Se você tem números grandes para multiplicar e um dels é par, simplesmente divida por 2 o lado par e multiplique por 2 o lado ímpar (ou o lado maior).

64 x 125, é o mesmo que:
32 x 250, que é o mesmo que:
16 x 500, que é o mesmo que:
8 x 1000 = 8000
   3. dividindo por 5 
Dividir um número grande por 5 é, em realidade, muito simples. Tudo que você deve fazer é multiplicar por 2 e então mover a casa decimal. Vamos exemplificar com o número 3250.
3250 / 5 = 3250 x 2 & mover a casa decimal um dígito para a esquerda
6500 = 650,0
650
Ou então:
41 / 5 = 41 x 2 & mover a casa decimal um dígito para a esquerda
82 = 8,2
2.Subtrair qualquer número de 1000 
Para subtratir qualquer número de 1000 use essa regra básica. Subtraia individualmente cada dígito de 9, com exceção do último que você subtrairá de 10.
1000 – 723
Passo 1: Subtrara 7 de 9 = 2
Passo 2: Subtraia 2 de 9 = 7
Passo 3: Subtraia 3 de 10 = 7
Resposta: 277, infalível.

1.Diversas regras de multiplicação 

1.Multiplicar por 5: Multiplicar por 10 e dividir por 2.

2.Multiplicar por 6: Algumas vezes multiplicar por 3 e então 2 é fácil.

3.Multiplicar por 9: Multiplicar por 10 e subtrair o número original.

4.Multiplicar por 12: Multiplicar por 10 e somar o dobro do número original.

5.Multiplicar por 13: Multiplicar por 3 e somar 10 vezes o número original.

6.Multiplicar por 14: Multiplicar por 7 e então multiplicar por 2

7.Multiplicar por 15: Multiplicar por 10 e somar 5 vezes o número original.

8.Multiplicar por 16: Pode-se multiplicar quatro vezes por 2. Ou multiplicar por 8 e depois por 2.

9.Multiplicar por 17: Multiplicar por 7 e somar 10 vezes número original.

10.Multiplicar por 18: Multiplicar por 20 e subtrair o dobro do número original.

11.Multiplicar por 19: Multiplicar por 20 e subtrair o número original.

12.Multiplicar por 24: Multiplicar por 8 e então multiplicar por 3.

13.Multiplicar por 27: Multiplicar por 30 e subtrair 3 vezes o número original.

14.Multiplicar por 45: Multiplicar por 50 e subtrair 5 vezes o número original.

15.Multiplicar por 90: Multiplicar por 9 e colocar zero à direita.

16.Multiplicar por 98: Multiplicar por 100 e subtrair duas vezes o número original.

17.Multiplicar por 99: Multiplicar por 100 e subtrair o número original.

...Um pouco de História...

Por volta dos séculos IX e VIII A.C., a matemática engatinhava na Babilônia.


Os babilônios e os egípcios já tinham uma álgebra e uma geometria, mas somente o que bastasse para as suas necessidades práticas, e não de uma ciência organizada.

Na Babilônia, a matemética era cultivada entre os escrivas responsáveis pelos tesouros reais.
 

Apesar de todo material algébrico que tinham os babilônios e egípcios, só podemos encarar a matemática como ciência, no sentido moderno da palavra, a partir dos séculos VI e V A.C., na Grécia.

A matemática grega se distingue da babilônica e egípcia pela maneira de encará-la.

Os gregos fizeram-na uma ciência propriamente dita sem a preocupação de suas aplicações práticas.

Do ponto de vista de estrutura, a matemática grega se distingue da anterior, por ter levado em conta problemas relacionados com processos infinitos, movimento e continuidade.

As diversas tentativas dos gregos de resolverem tais problemas fizeram com que aparecesse o método axiomático-dedutivo.

O método axiomático-dedutivo consiste em admitir como verdadeiras certas preposições (mais ou menos evidentes) e a partir delas, por meio de um encadeamento lógico, chegar a proposições mais gerais.

As dificuldades com que os gregos depararam ao estudar os problemas relativos a processos infinitos (sobretudo problemas sobre números irracionais) talvez sejam as causas que os desviaram da álgebra, encaminhando-os em direção à geometria.

Realmente, é na geometria que os gregos se destacam, culminando com a obra de Euclides, intitulada "Os Elementos".

Sucedendo Euclides, encontramos os trabalhos de Arquimedes e de Apolônio de Perga.

Arquimedes desenvolve a geometria, introduzindo um novo método, denominado "método de exaustão", que seria um verdadeiro germe do qual mais tarde iria brotar um importante ramo de matemática (teoria dos limites).

Apolônio de Perga, contemporâneo de Arquimedes, dá início aos estudos das denominadas curvas cônicas: a elipse, a parábola, e a hipérbole, que desempenham, na matemática atual, papel muito importante.

No tempo de Apolônio e Arquimedes, a Grécia já deixara de ser o centro cultural do mundo. Este, por meio das conquistas de Alexandre, tinha-se transferido para a cidade de Alexandria.

Depois de Apolônio e Arquimedes, a matemática graga entra no seu ocaso.

A 10 de dezembro de 641, cai a cidade de Alexandria sob a verde bandeira de Alá. Os exércitos árabes, então empenhados na chamada Guerra Santa, ocupam e destroem a cidade, e com ela todas as obras dos gregos. A ciência dos gregos entra em eclipse.

Mas a cultura helênica era bem forte para sucumbir de um só golpe; daí por diante a matemática entra num estado latente.

Os árabes, na sua arremetida, conquistam a Índia encontrando lá um outro tipo de cultura matemática: a Álgebra e a Aritmética.

Os hindus introduzem um símbolo completamente novo no sistema de numeração até então conhecido: o ZERO.

Isto causa uma verdadeira revolução na "arte de calcular".

Dá-se início à propagação da cultura dos hindus por meio dos árabes. Estes levam à Europa os denominados "Algarismos arábicos", de invenção dos hindus.

Um dos maiores propagadores da matemática nesse tempo foi, sem dúvida, o árabe Mohamed Ibn Musa Alchwarizmi, de cujo nome resultaram em nossa língua as palavras algarismos e Algoritmo.

Alehwrizmi propaga a sua obra, "Aldschebr Walmakabala", que ao pé da letra seria: restauração e confonto. (É dessa obra que se origina o nome Álgebra).

A matemática, que se achava em estado latente, começa a se despertar.

No ano 1202, o matemático italiano Leonardo de Pisa, cognominado de "Fibonacci" ressuscita a Matemática na sua obra intitulada "Leber abaci" na qual descreve a "arte de calcular" (Aritmética e Álgebra). Nesse livro Leonardo apresenta soluções de equações do 1º, 2º e 3º graus.

Nessa época a Álgebra começa a tomar o seu sapecto formal. Um monge alemão. Jordanus Nemorarius já começa a utilizar letras para significar um número qualquer, e ademais introduz os sinais de + (mais) e - (menos) sob a forma das letras p (plus = mais) e m (minus = menos).

Outro matemático alemão, Michael Stifel, passa a utilizar os sinais de mais (+) e menos (-), como nós os utilizamos atualmente.

É a álgebra que nasce e se põe em franco desenvolvimento.

Tal desenvolvimento é finalmente consolidado na obra do matemático francês, François Viete, denominada "Algebra Speciosa".

Nela os símbolos alfabéticos têm uma significação geral, podendo designar números, segmentos de retas, entes geométricos etc.

No século XVII, a matemática toma nova forma, destacando-se de início René Descartes e Pierre Fermat.

A grande descoberta de R. Descartes foi sem dúvida a "Geometria Analítica" que, em síntese, consiste nas aplicações de métodos algébricos à geometria.

Pierre Fermat era um advogado que nas horas de lazer se ocupava com a matemática.

Desenvolveu a teoria dos números primos e resolveu o importante problema do traçado de uma tangente a uma curva plana qualquer, lançando assim, sementes para o que mais tarde se iria chamar, em matemática, teoria dos máximos e mínimos.

Vemos assim no século XVII começar a germinar um dos mais importantes ramos da matemática, conhecido como Análise Matemática.

Ainda surgem, nessa época, problemas de Física: o estudo do movimento de um corpo, já anteriormente estudados por Galileu Galilei.

Tais problemas dão origens a um dos primeiros descendentes da Análise: o Cálculo Diferencial.

O Cálculo Diferencial aparece pela primeira vez nas mãos de Isaac Newton (1643-1727), sob o nome de "cálculo das fluxões", sendo mais tarde redescoberto independentemente pelo matemático alemão Gottfried Wihelm Leibniz.

A Geometria Analítica e o Cálculo dão um grande impulso à matemática.

Seduzidos por essas novas teorias, os matemáticos dos séculos XVII e XVIII, corajosa e despreocupadamente se lançam a elaborar novas teorias analíticas.

Mas nesse ímpeto, eles se deixaram levar mais pela intuição do que por uma atitude racional no desenvolvimento da ciência.

Não tardaram as consequências de tais procedimentos, começando por aparecer contradições.

Um exemplo clássico disso é o caso das somas infinitas, como a soma abaixo:

S = 3 - 3 + 3 - 3 + 3...........

supondo que se tenha um nº infinito de termos.

Se agruparmos as parcelas vizinhas teremos:

S = (3 - 3) + (3 - 3) + ...........= 0 + 0 +.........= 0

Se agruparmos as parcelas vizinhas, mas a partir da 2ª, não agrupando a primeira:

S = 3 + ( - 3 + 3) + ( - 3 + 3) + ...........= 3 + 0 + 0 + ......... = 3

O que conduz a resultados contraditórios.

Esse "descuido" ao trabalhar com séries infinitas era bem característicos dos matemáticos daquela época, que se acharam então num "beco sem saída'.

Tais fatos levaram, no ocaso do século XVIII, a uma atitude crítica de revisão dos fatos fundamentais da matemática.

Pode-se afirmar que tal revisão foi a "pedra angular" da matemática.

Essa revisão se inicia na Análise, com o matemático francês Louis Cauchy (1789 - 1857), professor catedrático na Faculdade de Ciências de Paris.

Cauchy realizou notáveis trabalhos, deixando mais de 500 obras escritas, das quais destacamos duas na Análise: "Notas sobre o desenvolvimento de funções em séries" e "Lições sobre aplicação do cálculo à geometria".

Paralelamente, surgem geometrias diferentes da de Euclides, as denominadas Geometrias não euclidianas.

Por volta de 1900, o método axiomático e a Geometria sofrem a influência dessa atitude de revisão crítica, levada a efeito por muitos matemáticos, dentre os quais destacamos D. Hilbert, com sua obra "Fundamentos da Geometria" ("Grudlagen der Geometrie" título do original), publicada em 1901.

A Álgebra e a Aritmética tomam novos impulsos.

Um problema que preocupava os matemáticos era o da possibilidade ou não da solução de equações algébricas por meio de fórmulas que aparecessem com radicais.

Já se sabia que em equações do 2º e 3º graus isto era possível; daí surgiu a seguinte questão: será que as equações do 4º graus em diante admitem soluções por meio de radicais?

Em trabalhos publicados por volta de 1770, Lagrange (1736 - 1813) e Vandermonde (1735-96) iniciaram estudos sistemáticos dos métodos de resolução.

À medida em que as pesquisas se desenvolviam no sentido de achar tal tipo de resolução, ia se evidenciando que isso não era possível.

No primeiro terço do século XIX, Niels Abel (1802-29) e Evariste de Galois (1811-32) resolvem o problema, demonstrando que as equações do quarto e quinto grau em diante não podiam ser resolvidas por radicais.

O trabalho de Galois, somente publicado em 1846, deu origem a chamada "teoria dos grupos" e à denominada "Álgebra Moderna", dando também grande impulso à teoria dos números.

Com respeito à teoria dos números não nos podemos esquecer das obras de R. Dedekind e Gorg Cantor.

R. Dedekind define os números irracionais pela famosa noção de "Corte".

Georg Cantor dá início à chamada Teoria dos conjuntos, e de maneira arrojada aborda a noção de infinito, revolucionando-a.

A partir do século XIX a matemática começa então a se ramificar em diversas disciplinas, que ficam dada vez mais abstratas.

Atualmente se desenvolvem tais teorias abstratas, que se subdividem em outras disciplinas.

Os entendidos afirmam que estamos em plena "idade de ouro" da Matemática, e que neste últimos cinquenta anos tem se criado tantas disciplinas, novas matemáticas, como se haviam criado nos séculos anteriores.

Esta arremetida em direção ao "Abstrato", ainda que não pareça nada prática, tem por finalidade levar adiante a "Ciência".

A história tem mostrado que aquilo que nos parece pura abstração, pura fantasia matemática, mais tarde se revela como um verdadeiro celeiro de aplicações práticas.

Revelando a mágica do número "1089"

A razão para que o número 1089 seja considerado “mágico” decorre do fato de ser obtido da seguinte forma:

Dado um número qualquer composto de três algarismos diferentes – abc -, inverta esse número, no sentido de trás para frente – cba – e subtraia o menor do maior. Ao resultado dessa subtração – representada por xyz -, onde se deve considerar sempre um número de três algarismos, mesmo quando a diferença na casa das centenas é zero, some o seu inverso – zyx – e eis que surge “fagueiro” o número 1089.

O objetivo deste post é demonstrar porque isso sempre ocorre. Mas, antes alguns exemplos para que não restem eventuais dúvidas quanto ao enunciado.

Exemplo 1: Seja 367 um número escolhido, que escrito de trás para frente é 763. Subtraindo o menor do maior obtemos:

763 – 367 = 396

E somando o resultado obtido ao seu inverso de trás para frente:

396 + 693 = 1089

Exemplo 2: Agora tome o número 675. Utilizando-se dos mesmos procedimentos vem:

675 – 576 = 099 => 099 + 990 = 1089

Observe que no exemplo acima o zero a esquerda – em 099 – deve ser considerado para que o resultado seja o número “mágico” 1089.
Isto posto, vamos lá.

Seja e com a composição abc o número escolhido. Como a representa a centena, b a dezena e c a unidade, então e pode ser escrito como:

e = 100a + 10b + c.

Pelo enunciado, o “inverso” de e tem a composição “cba” e por analogia:

d = 100c + 10b + a.

Portanto, supondo que e > d, temos a > c (representam as centenas de e e d respectivamente) e que a subtração é dada por:

e – d = 100a + 10b + c – (100c + 10b + a)

Eliminando os parenteses e efetuando a multiplicação por -1, a famosa troca de sinal:

e – d = 100a + 10b + c – 100c – 10b – a

Efetuando as operações com os termos comuns, ou seja, 100a – a = 99a, 100c – c = 99c e 10b – 10b = 0:

e – d = 99a – 99c

Colocando 99 em evidência – termo comum às duas parcelas:

e – d = 99(a – c)

Até aqui fica demonstrado que o resultado da diferença entre e e d – que será representada pela composição xyz – é sempre um múltiplo de 99 e portanto, necessariamente, um múltiplo de 9.Como nas duas parcelas e e d, b não muda de posição, permanecendo na casa das dezenas e a > c, então o “y” da composição do resultado (”xyz”) será sempre igual a 9 (lembra do tira 1 dos tempos da aritmética!).

E como em todo número divisível por 9 a soma de seus algarimos é também um número divisível por 9, concluímos que x + z = 9.

Logo, podemos escrever o resultado R da soma da diferença pelo seu “inverso” como:

R = 100x + 10y + z + 100z + 10y + x

que pode ser reescrito como:

R = 100(x + z) + 20y + (x + z) = 100(9) + 20(9) + 9 = 900 + 180 + 9 = 1089

como queríamos demonstrar

Observações:

• 
  
  Na expressão 99(a – c), obtida na demonstração como resultado da subtração inicial, teremos sempre o valor 099 quando a diferença entre o algarismo da centena e da unidade do número escolhido for igual a 1, caso do exemplo 2 acima;
  
  
  
• 
  
  Que os resultados possíveis para a subtração inicial são 099, 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792 e 891;
  
  
  
• 
  
  Que, com exceção do 099, todos os inversos utilizados na soma – segundo passo para obter o 1089 – estão, também, entre os números acima;
  
  
  
• 
  
  E, finalmente, que o resultado de toda a brincadeira, para qualquer que seja o número escolhido, é sempre igual a 11 x 99 = 1089. Veja que se a – c = 2, por exemplo, temos como resultado da subtração 198 = 2 x 99 cujo inverso é 891 = 9 x 99, o que conduz a 1089 = (2×99) + (9×99) = 11 x 99.
  
  
  

Método de Pitágoras para Calcular a Potência de Grau 2 de um Número

A potenciação nos fornece um meio simples, prático e rápido para calcularmos a potência de grau 2 de um número inteiro, comumente conhecida como o quadrado desse número.



Como todos sabem, o meio em questão, corresponde ao produto (multiplicação) do número por ele mesmo, ou seja:



52 = 5 x 5 = 25

Mas, Pitágoras, filósofo e matemático grego, século VI antes de Cristo, inventou uma regra diferente (e um pouco mais complicada, convenhamos) para obter o resultado da potência de grau 2 de um número, que consiste em:



O quadrado de um número inteiro n é igual a soma dos n primeiros números inteiros ímpares.



Para números pequenos vemos, facilmente, que a afirmação é verdadeira, através do uso direto do enunciado. Vejam:



•12 = 1 (n = 1)

•22 = 1 + 3 = 2 x 2 = 4 (n = 2)

•52 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5 x 5 = 25 (n = 5)

•72 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 7 x 7 = 49 (n = 7)

E como saber que a afirmação é válida para o número 5.227, por exemplo? No “braço” é extremamente trabalhoso comprovar, pois teríamos que somar os primeiros 5.227 números inteiros ímpares e, após, verificar que o resultado é igual ao quadrado de 5.227.



No entanto, se observarmos com um pouquinho mais de atenção veremos que a sequência formada pelos primeiros n números ímpares:



(1, 3, 5, 7, …., an)



é uma Progressão Aritmética (PA) de razão r = 2, onde an representa o enésimo termo ou o enésimo número ímpar.



Desse fato é suficiente, agora, utilizarmos das propriedades de uma PA. Mais especificamente das fórmulas do termo geral e da soma dos termos de uma PA finita, para demonstrarmos que Pitágoras esta com toda a razão (não a da PA).



Primeiro vamos determinar o valor de an em função de n:



an = a1 + (n – 1)r = 1 + (n – 1)2 = 2n – 1



Para concluirmos, mostrando que a soma Sn é igual a n2:



Sn = [(a1 + an)n]/2 = [(1 + 2n - 1)]n/2 = 2n2/2 = n2



Pronto! não é que o homem tinha razão?